【名师一号】2014-2015学年人教A版高中数学选修2-2双基限时练15]

发布于:2021-09-19 00:21:55

双基限时练(十五)
1.下列说法中正确的是( A.合情推理就是正确的推理 B.合情推理就是归纳推理 C.归纳推理是从一般到特殊的推理过程 D.类比推理是从特殊到特殊的推理过程 答案 D )

2.类比*面内正三角形的“三边相等,三内角相等”的性质,可 推出正四面体的下列性质,你认为比较恰当的是( )

①各棱长相等,同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等;②各个 面都是全等的正三角形,相邻两个面所成的二面角都相等;③各个面 都是全等的正三角形,同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等. A.① C.①② 答案 D B.③ D.①②③

1 3.三角形的面积为 S=2(a+b+c)· r,a,b,c 为三角形的边长,r 为三角形内切圆的半径, 利用类比推理可以得出四面体的体积为( 1 A.V=3abc 1 B.V=3Sh 1 C.V=3(S1+S2+S3+S4)· r(S1,S2,S3,S4 分别为四面体的四个面 的面积,r 为四面体内切球的半径) 1 D.V=3(ab+bc+ac)· h(h 为四面体的高) )

解析 面积与体积,边长与面积,圆与球进行类比,应选 C. 答案 C

4.观察(x2)′=2x,(x4)′=4x3,(cosx)′=-sinx,又归纳推理 可得: 若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(-x)=f(x), 记 g(x)为 f(x)的导函 数,则 g(-x)=( A.f(x) C.g(x) 解析 ) B.-f(x) D.-g(x)

归纳所给出的导函数知,原函数为偶函数,则其导函数为

奇函数,根据这一规律可知,f(x)为偶函数,其导函数 g(x)必为奇函数, 故 g(-x)=-g(x). 答案 D

5.已知对正数 a 和 b,有下列命题: 1 ①若 a+b=1,则 ab≤2; 3 ②若 a+b=3,则 ab≤2; ③若 a+b=6,则 ab≤3. 根据以上三个命题提供的规律猜想:若 a+b=9,则 ab≤( A.2 C.4 答案 B 9 B.2 D.5 )

x y 6.在*面直角坐标系内,方程a +b=1 表示在 x 轴 ,y 轴上的截 距分别为 a 和 b 的直线,拓展到空间,在 x,y,z 轴上的截距分别为 a, b,c(abc≠0)的直线方程为( x y z A.a+b+c=1 )

x y z B.ab+bc+ca=1

xy yz zx C.ab+bc+ca =1 答案 A

D.ax+by+cz=1

7.顺次计算数列:1,1+2+1,1+2+3+2+1,1+2+3+4+3+2 +1,?的前 4 项的值,由此猜测: an = 1 + 2 + 3 +?+ (n - 1) + n + (n - 1) +?+ 3 + 2 + 1 的结果为 ________. 解析 1=12, 1+2+1=4=22, 1+2+3+2+1=9=32, 1+2+3+4+3+2+1=16=42, ?? 由此可以猜想 an=n2. 答案 n2 8.圆的面积 S=πr2,周长 c=2πr,两者满足 c=S′(r),类比此关 系写出球的公式的一个结论是:________. 解析 球的面积 S=4πr2, 4 球的体积 V=3πr3, 则有 S=V′(r)=4πr2. 答案 4 V 球=3πr3,S 球=4πr2,满足 S=V′(r)

9.观察以下各等式: 3 sin230° +cos260° +sin30° cos60° =4, 3 sin220° +cos250° +sin20° cos50° =4,

3 sin215° +cos245° +sin15° cos45° =4. 分析上述各式的共同特点,猜想出反映一般规律的等式,为 ____________________. 3 答案 sin2α+cos2(α+30° )+sinαcos(α+30° )=4 10.下图的倒三角形数阵满足:

(1)第 1 行的 n 个数分别是 1,3,5,?,2n-1; (2)从第 2 行起,各行中的每一个数都等于它肩上的两个数之和; (3)数阵共有 n 行. 则第 5 行的第 7 个数是________. 解析 观察倒三角形数阵知,每一行均为等差数列,且第 1 行的 公差为 2, 第 2 行的公差为 4, 第 3 行的公差为 8, 第 4 行的公差为 16, 第 5 行的公差为 32.又推得第 5 行第一个数字为 80, 故第 5 行第 7 个数 字是 80+32×(7-1)=272. 答案 272 11.两条直线最多有一个交点,3 条直线最多有 3 个交点,4 条直 线最多有 6 个交点,5 条直线最多有 10 个交点,??,试归纳出 n 条 直线最多有多少个交点. 解 设直线条数为 n,最多交点个数为 f(n),则

f(2)=1, f(3)=3=1+2,

f(4)=6=1+2+3, f(5)=10=1+2+3+4, f(6)=15=1+2+3+4+5, ?? 由此可以归纳出,n 条直线交点个数最多为 n?n-1? f(n)=1+2+3+?+(n-1)= 2 .
2 2 12.设 an 是首项为 1 的正项数列,且(n+1)an an= +1-nan +an+1·

0(n≥1,n∈N),试归纳出这个数列的一个通项公式. 解 当 n=1 时,a1=1,且 2a22-a21+a2· a1=0,

1 即 2a22+a2-1=0,解得 a2=2, 当 n=2 时,由 1 1 3a23-2(2)2+2a3=0, 1 即 6a23+a3-1=0,解得 a3=3, ?? 1 由此猜想:an=n. 13.某同学在一次研究性学*中发现,以下五个式子的值都等于 同一个常数. ①sin213° +cos217° -sin13° cos17° ; ②sin215° +cos215° -sin15° cos15° ; ③sin218° +cos212° -sin18° cos12° ; ④sin2(-18° )+cos248° -sin(-18° )cos48° ; ⑤sin2(-25° )+cos255° -sin(-25° )cos55° . (1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数;

(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证 明你的结论. 解 (1)选择②式计算如下:

1 1 3 sin215° +cos215° -sin15° cos15° =1-2sin30° =1-4=4. (2)推广到一般情况有三角恒等式: 3 sin2α+cos2(30° -α)-sinαcos(30° -α)=4. 证明: sin2α + cos2(30° - α) - sinαcos(30° - α) = sin2α + (cos30° cosα 3 1 +sin30° sinα)2-sinα(cos30° cosα+sin30° sinα)=sin2α+4cos2α+4sin2α+ 3 3 1 2 3 2 3 2 3 2 3 2 sin α cos α - sin α cos α - sin α = sin α + cos α = (sin α + cos α ) = 2 2 2 4 4 4 4.


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