【名师一号】2014-2015学年人教A版高中数学选修2-3双基限时练15

发布于:2021-07-31 00:46:04

双基限时练(十五)
1. 设 ξ 是随机变量, a, b 是非零常数, 则下列等式中正确的是( A.D(aξ+b)=a2D(ξ)+b C.D(aξ)=a2D(ξ) 答案 C ) B.E(aξ)=a2E(ξ) D.E(aξ+b)=aE(ξ) )

2.设随机变量 X~B(n,p),且 E(X)=1.6,D(X)=1.28,则( A.n=8,p=0.2 C.n=5,p=0.32 B.n=4,p=0.4 D.n=7,p=0.45

?np=1.6, ?p=0.2, ? ? 解析 依题意得? 解得? ? ? ?np?1-p?=1.28, ?n=8.

答案

A )

3.设离散型随机变量为 ξ,下列说法中正确的是( A.E(ξ)反映了 ξ 取值的概率的*均值 B.D(ξ)反映了 ξ 取值的*均水* C.E(ξ)反映了 ξ 取值的*均水* D.D(ξ)反映了 ξ 取值的概率的*均值 答案 C )

4.若 ξ 是一个随机变量,则 E(ξ-E(ξ))的值为( A.无法求 C.E(ξ) B.0 D.2E(ξ)

解析 ∵常数 b 的均值还是 b,而 E(ξ)为一个常数, ∴E(E(ξ))=E(ξ). ∴E(ξ-E(ξ))=E(ξ)-E(ξ)=0.故选 B. 答案 B

5.甲、乙两工人在同样的条件下生产某种产品,日产量相等,每

天出废品的情况为 工人 废品数 概率 0 0.4 ) 1 0.3 甲 2 0.2 3 0.1 0 0.3 1 0.5 乙 2 0.2 3 0

则有结论(

A.甲的产品质量比乙的产品质量好一些 B.乙的产品质量比甲的产品质量好一些 C.两人的产品质量一样好 D.无法判断谁的质量好一些 解析 设甲、 乙出次品的个数分别为 ξ、 η. 则 E(ξ)=0×0.4+1×0.3 + 2×0.2 + 3×0.1 = 1 , E(η) = 0×0.3 + 1×0.5 + 2×0.2 + 3×0 = 0.9. ∵ E(ξ)>E(η),∴乙的产品质量比甲的产品质量好一些,故选 B. 答案 B

1 6.已知随机变量 ξ 的分布列为 P(ξ=k)=3,k=1,2,3,则 D(3ξ+ 5)等于( A.6 C.3 解析 由题意知, 1 1 1 E(ξ)=1×3+2×3+3×3=2. 1 1 1 2 D(ξ)=(1-2)2×3+(2-2)2×3+(3-2)2×3=3. ∴D(3ξ+5)=9D(ξ)=6. 答案 A ) B.9 D.4

7.已知某运动员投篮命中率 P=0.6,则他连续投 5 次,命中次数 η 的方差为________.

解析 依题意知 η~B(5,0.6) D(η)=5×0.6×(1-0.6)=1.2. 答案 1.2 8.已知随机变量 ξ 的分布列如下 ξ P 1 0.4 2 0.1 3 x

则 ξ 的标准差为________. 解析 ∵由分布列的性质知,x=0.5, E(ξ)=1×0.4+2×0.1+3×0.5=2.1, D(ξ)=(1-2.1)2×0.4+(2-2.1)2×0.1+(3-2.1)2×0.5 =0.484+0.001+0.405=0.89. ∴σ(ξ)= D?ξ?= 0.89. 答案 0.89

9.随机变量 ξ 的分布列如下: ξ P -1 a 0 b 1 c

1 其中 a,b,c 成等差数列,若 E(ξ)=3,则 D(ξ)=________. +c=2b, ?a a+b+c=1, 依题意得? 1 - a + c = ? 3

解析

1 1 1 解得 a=6,b=3,c=2. 1? 1 ? 1? 1 ? 1? 1 16 1 1 1 ? 故 D(ξ)=?-1-3?2×6+?0-3?2×3+?1-3?2×2= 9 ×6+9×3+
? ? ? ? ? ?

4 1 5 9×2=9.

5 答案 9 10.设一次试验成功的概率为 p,进行 100 次独立重复试验,当 p =________时,成功次数的标准差的值最大,其最大值为________. 解析 依题意成功次数 ξ 服二项分布,即 ξ~B(100,p),D(ξ)= 100p(1-p)≤100×?
?p+1-p?2 1 ? =25.当且仅当 p=1-p,即 p= 时,成 2 2 ? ?

功次数的标准差有最大值 5. 1 答案 2 5 11.有 A,B 两种钢筋,从中取等量样品检查它们的抗拉强度,指 标如下: ξA P 110 0.1 120 0.2 125 0.4 130 0.1 135 0.2

ξB P

100 0.1

115 0.2

125 0.4

130 0.1

145 0.2

其中 ξA,ξB 分别表示 A,B 两种钢筋的抗拉强度,在使用时要求钢 筋的抗拉强度不低于 120,试比较 A,B 两种钢筋哪一种质量较好. 解 先比较 ξA 与 ξB 的期望值:

E(ξA) = 110×0.1 + 120×0.2 + 125×0.4 + 130×0.1 + 135×0.2 = 125, E(ξB) = 100×0.1 + 115×0.2 + 125×0.4 + 130×0.1 + 145×0.2 = 125, 所以,它们的期望值相同.再比较它们的方差: D(ξA) = (110 -125)2×0.1 + (120 - 125)2×0.2 + (125 - 125)2×0.4 + (130-125)2×0.1+(135-125)2×0.2=50,

D(ξB) = (100 - 125)2×0.1 + (115 -125)2×0.2 + (125 - 125)2×0.4 + (130-125)2×0.1+(145-125)2×0.2=165, 所以 D(ξA)<D(ξB),因此 A 种钢筋质量较好. 12.甲、乙两人射击,甲射击一次中靶的概率是 p1,乙射击一次 1 1 中靶的概率是 p2,且p ,p 是方程 x2-5x+6=0 的两个实根.已知甲
1 2

5 射击 5 次,中靶次数的方差是4. (1)求 p1,p2 的值; (2)若两人各射击 2 次,至少中靶 3 次就算完成目的,则完成目的 的概率是多少? (3)若两人各射击 1 次,至少中靶 1 次就算完成目的.则完成目的 的概率是多少? 解 (1)由题意可知, 甲射击 5 次中靶次数 ξ 服从二项分布 B(5, p1),

5 1 2 ∴D(ξ)=5p1(1-p1)=4.∴p1 -p1+4=0, 1 1 1 1 解得,p1=2.又p · = 6 ,∴ p 2= . p 3
1 2

(2)分两种情况:共击中 3 次的概率为 1 2 1 2 1 0 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 0 C2 (2) (2) ×C2 (3) (3) +C2 (2) (2) ×C2 (3) (3) =6; 12 1 2 1 2 共击中 4 次的概率为 C2 (2) ×C2 2( ) = 3 36. 1 1 7 故所求概率为6+36=36. 1 1 1 (3)两人各射击 1 次,都未中靶的概率为(1-2)(1-3)=3, 1 2 ∴两人各射击 1 次,至少中靶 1 次的概率为 1-3=3.

13.甲、乙两名工人加工同一种零件,两人每天加工的零件数相 同,所得次品数分别为 X,Y,X 和 Y 的分布列如下表.试对这两名工 人的技术水*进行比较. X P 0 6 10 1 1 10 2 3 10

Y P 解

0 5 10

1 3 10

2 2 10

工人甲生产出次品数 X 的期望与方差分别为:

6 1 3 E(X)=0×10+1×10+2×10=0.7, 6 1 3 D(X)=(0-0.7)2×10+(1-0.7)2×10+(2-0.7)2×10=0.81. 工人乙生产出次品数 Y 的期望与方差分别为: 5 3 2 E(Y)=0×10+1×10+2×10=0.7, 5 3 2 D(Y)=(0-0.7)2×10+(1-0.7)2×10+(2-0.7)2×10=0.61. 由 E(X)=E(Y)知,两人出次品的*均数相同,技术水*相当,但 D(X)>D(Y),可见乙的技术水*比较稳定.


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